Himpunan Bebas Linear – Menara Ilmu Aljabar Linear

Pada artikel mengenai himpunan pembangun, telah diberikan informasi tentang kombinasi linear dari subruang yang dibangun oleh suatu himpunan. Salah satu fakta yang menarik mengenai himpunan pembangun adalah dua himpunan yang berbeda dari suatu ruang vektor dapat membangun ruang vektor yang sama. Contoh sederhana berikut memperlihatkan fenomena tersebut, yaitu

$\mathbb{R}^{3}=\left\langle\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}\right\rangle=\left\langle\begin{bmatrix} 1 \\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\0\\1\end{bmatrix}\right\rangle.$

Pertanyaan:
Jika diberikan sebuah ruang vektor $V$ , apakah terdapat jumlah terkecil dari vektor yang membangun $V$ ?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, terlebih dahulu diberikan definisi mengenai bebas linear dan bergantung linear.

Definisi:
Misal $V$ adalah ruang vektor atas lapangan $F$ . Himpunan hingga $\{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\}$ dari vektor dari $V$ dikatakan bergantung linear (terhadap $F$ ) jika vektor nol adalah kombinasi linear non trivial dari $v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}$ , sebaliknya himpunan $\{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\}$ disebut bebas linear.

Berdasarkan definisi di atas, himpunan $\{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\}$ adalah sebuah himpunan bergantung linear jika terdapat skalar $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}\in F$ yang tidak semua nol sehingga

$c_{1}v_{1}c_{2}v_{2}+\cdots+c_{n}v_{n}=0$

Untuuk kasus sebaliknya, himpunan $\{v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\}$ adalah sebuah himpunan bergantung linear jika vektor nol hanya dapat dituliskan sebagai kombinasi linear trivial dari vektor-vektor tersebut, yakni jika

$c_{1}v_{1}c_{2}v_{2}+\cdots+c_{n}v_{n}=0$

mengakibatkan $c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0$ .

Untuk memperjelas pemahaman mengenai himpunan bebas linear, diperhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh Himpunan Bergantung Linear:

Himpunan $\left\{\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}\right\}$ merupakan himpunan bergantung linear (tidak bebas linear) karena terdapat skalar $c_{1}=1, c_{2}=0, c_{3}=-1, c_{4}=-1\in \mathbb{R}$ dan berlaku

$c_{1}\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}+c_{3}\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}+c_{4}\begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}$

Contoh Himpunan Bebas Linear:

Himpunan $\left\{\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}\right\}$ merupakan himpunan bebas linear sebab untuk sebarang skalar $c_{1}, c_{2}, c_{3}\in \mathbb{R}$ yang memenuhi

$c_{1}\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}+c_{3}\begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}$

berakibat

$\begin{equation*} \begin{split} \begin{bmatrix} c_{1} \\c_{1}\\c_{1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} c_{2}\\c_{2}\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\c_{3}\\c_{3}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} c_{1}+c_{2}\\c_{1}+c_{2}+c_{3}\\c_{1}+c_{3}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix} \end{split} \end{equation*}$

Sehingga diperoleh sistem persamaan linear

$\begin{equation*} \begin{split} c_{1}+c_{2}&=0\\ c_{1}+c_{2}+c_{3}&=0\\ c_{1}+c_{3}&=0. \end{split} \end{equation*}$

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh nilai $c_{3}=0$ . Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai $c_{3}$ ke persamaan (3) diperoleh nilai $c_{1}=0$ . Dengan mensubstitusikan nilai $c_{1}$ ke persamaan (1) diperoleh nilai $c_{2}=0$ . Dengan demikian diperoleh $c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$ .

Tagged bebas linear ruang vektor

One Response

Harun says:

April 6, 2021 at 12:37 pm

Izin bertanya, pada contoh mengapa nilai c1=c2=c3=c4 tidak =0? Padahal nilai tersebut memenuhi matriks [0,0,0] dan sangat mudah ditentukan. Terimakasih

Reply

One Response

Leave a Reply Cancel reply