Pada artikel ini, akan dibahas mengenai subruang yang dibangun oleh suatu himpunan bagian dari suatu ruang vektor, yakni subruang terkecil yang memuat suatu himpunan bagian tersebut.
Misalkan diberikan ruang vektor $V$ atas lapangan $F$ dan $S$ himpunan bagian tak kosong dari $V$. Berdasarkan sifat bahwa irisan dari dua (atau lebih) subruang merupakan subruang, maka dapat dibuktikan bahwa
$$\langle S \rangle =\displaystyle \bigcap_{S\subseteq W} W$$
dengan $W$ subruang di $V$ yang memuat $S$, merupakan subruang terkecil yang memuat $S$.
Pertanyaan: bagaimanakah bentuk elemen-elemen dari $\langle S \rangle$ ?
Untuk menjawab pertanyaan di atas, terlebih dahulu diperhatikan definisi mengenai kombinasi linear berikut.
Definisi :
Misalkan $V$ adalah ruang vektor atas lapangan $F$ dan $v_{1}, v_{2}, \cdots v_{n} \in V$ . Sebarang jumlahan berhingga
$$c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{n}v_{n}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}$$
dengan setiap $c_{i}\in F$, disebut kombinasi linear dari vektor-vektor $v_{1}, v_{2}, \cdots v_{n}$. Selanjutnya himpunan $U= \langle v_{1}, v_{2}, \cdots v_{n} \rangle$ disebut subruang yang dibangun/direntang oleh $v_{1}, v_{2}, \cdots v_{n}$ dan vektor-vektor $v_{1}, v_{2}, \cdots v_{n} $ ;disebut merentang/ membangun U. Sebuah kombinasi linear dikatakan trivial jika semua koefisiennya $c_{i} = 0, i = 1,2,\cdots, n$ dan nontrivial jika minimal terdapat $c_{i}$ yang bukan nol.
Dengan menggunakan definisi di atas, maka pertanyaan mengenai bentuk elemen-elemen dari $\langle S\rangle $ terjawab pada teorema berikut.
Teorema :
Misalkan $S$ adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor $V$ atas lapangan $F$, maka $\langle S\rangle $, subruang yang dibangun oleh $S$, adalah terdiri dari semua kombinasi linear (berhingga) dari unsur-unsur di $S$ :
$$\langle S\rangle =\left\{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}\mid c_{i}\in F, x_{i}\in S, n\in \mathbb{N}\right\}$$
Bukti:
Misalkan ruas kanan dari persamaan di atas dinotasikan dengan $Span (S)$. Dapat dibuktikan bahwa $Span (S)$ merupakan subruang dari $V$. Karena setiap $s\in S$ berlaku $s=1s\in Span (S)$, maka berdasarlkan definisi $\langle S \rangle$, diperoleh $Span (S) \subseteq \langle S\rangle$. Di lain pihak, $\langle S\rangle$ adalah subruang yang memuat $S$, dengan demikian $\langle S\rangle$ pasti memuat semua kombinasi linear elemen-elemen dari $S$, dengan semikian jelas bahwa $Span (S)\subseteq \langle S\rlangle$. Jadi terbukti bahwa
$$\langle S\rangle =\left\{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}\mid c_{i}\in F, x_{i}\in S, n\in \mathbb{N}\right\}$$
Contoh Soal:
Diberikan ruang vektor $\mathbb{R}^{3}$ atas lapangan $\mathbb{R}$ dan himpunan $S=\left\{\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}\right\}$. Buktikan bahwa $$Span (S)=\mathbb{R}^{3}.$$
Penyelesaian:
Jelas bahwa $Span (S) \subseteq \mathbb{R}^{3}$. Sebaliknya, untuk sebarang $\begin{bmatrix} a \\b\\c\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{3}$, berlaku
\begin{equation*}
\begin{split}
\begin{bmatrix} a \\b\\c\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} c \\c\\c\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b-c \\b-c\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a-b \\0\\0\end{bmatrix}\\
&=c\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}+(b-c)\begin{bmatrix} 1 \\1\\0\end{bmatrix}+(a-b)\begin{bmatrix} 1 \\0\\0\end{bmatrix}\in Span (S).
\end{split}
\end{equation*}
Sehingg diperoleh $ \mathbb{R}^{3} \subseteq Span (S)$. Dengan demikian, terbukti bahwa $Span (S)=\mathbb{R}^{3}$.
\\\\\\\\