Pada artikel ini, akan dibahas mengenai sistem persamaan linear (SPL) homogen, yakni suatu SPL dimana suku yang memuat konstanta adalah nol. Jadi bentuk umum SPL homogen adalah sebagai berikut :
\begin{equation*}
\begin{split}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}&=0\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}&=0\\
&\vdots\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}&=0
\end{split}
\end{equation*}
Karena suku konstantanya nol semua, maka sistem persamaan linier homogen ini selalu mempunyai penyelesaian trivial, yaitu
$$x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=0.$$
Pertanyaannya adalah apakah sistem persamaan tersebut juga mempunyai penyelesaian tak nol (non-trivial). Untuk menjawab pertanyaan ini, metode mencari penyelesaian sistem persamaan nonhomogen bisa tetap diterapkan, salah satunya dengan menggunakan metode eleminasi Gauss atau metode eleminasi Gauss-Jordan.
Untuk lebih jelasnya, diperhatikan contoh berikut ini.
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari SPL homogen berikut.
\begin{equation*}
\begin{split}
2x_{1}+2x_{2}-x_{3}+x_{5}&=0\\
-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-3x_{4}+x_{5}&=0\\
x_{1}+x_{2}-2x_{3}-x_{5}&=0\\
x_{3}+x_{4}+x_{5}&=0
\end{split}
\end{equation*}
Penyelesaian :
Matrik perluasan dari SPL di atas adalah
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
2 & 2 & -1 & 0 & 1 & \mid & 0\\
-1 & -1 & 2 & -3 & 1 & \mid & 0\\
1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode operasi Gauss-Jordan.
\begin{equation*}
\begin{split}
\begin{bmatrix}
2 & 2 & -1 & 0 & 1 & \mid & 0\\
-1 & -1 & 2 & -3 & 1 & \mid & 0\\
1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow{B_{1} \leftrightarrow B_{3}} &\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\
-1 & -1 & 2 & -3 & 1 & \mid & 0\\
2 & 2 & -1 & 0 & 1 & \mid & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0
\end{bmatrix}\\
\xrightarrow[B_{3}+(-2)B_{1}]{B_{2}+B_{1}} &\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\
0 & 0 & 0 & -3 & 0 & \mid & 0\\
0 & 0 & 3 & 0 & 3 & \mid & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0
\end{bmatrix}\\
\xrightarrow[B_{3}\times \frac{1}{3}]{ B_{2}\times \frac{-1}{3}} &\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \mid & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0
\end{bmatrix}\\
\xrightarrow{ B_{2}\leftrightarrow B_{3}} &\begin{bmatrix}
1 & 1 & -2 & 0 & -1 & \mid & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \mid & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 &\mid & 0
\end{bmatrix}\\
\xrightarrow[B_{4}+(-1)B_{2}+(-1)B_{3}]{ B_{1}+2B_{2}} &\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \mid & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \mid & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\mid & 0
\end{bmatrix}\\
\end{split}
\end{equation*}
Sehingga diperoleh SPL
\begin{equation}\label{baru}
\begin{split}
x_{1}+x_{2}+x_{5}&=0\\
x_{3}+x_{5}&=0\\
x_{4}&=0
\end{split}
\end{equation}
yang berakibat $x_{1}=-x_{2}-x_{5}, x_{3}=-x_{5}, x_{4}=0$. Jadi penyelesaian SPL homogen di atas adalah $$x_{1}=-s-t, x_{2}=s, x_{3}=-t, x_{4}=0, x_{5}=t$$
dengan $s,t\in \mathbb{R}$.
Lebih lanjut, untuk $s=t=1$ diperoleh penyelesaian $x_{1}=-2, x_{2}=1, x_{3}=-1, x_{4}=0, x_{5}=1$. Dengan demikian SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian non-trivial.