Mencari Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dengan Metode Eleminasi Gauss-Jordan.

Pada artikel terdahulu, telah dipelajari cara mencari penyelesaian suatu sistem persamaan linear (SPL) dengan menggunakan metode eleminasi Gauss, yang mana matriks perluasan yang bersesuain dari SPL tersebut dibawa ke bentuk eselon baris. Pada artikel ini, akan diberikan contoh cara mencari penyelesaian suatu SPL dengan menggunakan metode eleminasi Gauss-Jordan,  yang mana matriks perluasan yang bersesuain dengan SPL tersebut dibawa ke bentuk eselon baris tereduksi (lihat artikel berikut untuk melihat defisini matriks bentuk eselon baris tereduksi).

Contoh soal (UTS Alajabar Linear Teknik Geodesi TA. 2018-2019):

Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut.

    \begin{equation*} \begin{split} a-4b+2c+3d&=2\\ 2a+b+3c-d&=0\\ 4a+b+2c-3d&=1\\ 3a-4b-2c+2d&=8 \end{split} \end{equation*}

Dengan menggunakan metode eleminasi Gauss-Jordan, tentukan penyelesaian sistem persamaan linear di atas.

 

Penyelesaian :

Matrik perluasan dari SPL di atas adalah

    \begin{equation*} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & | & 2\\ 2 & 1 & 3 & -1 & | & 0\\ 4 & 1 & 2 & -3 & | & 1\\ 3 & -4 & -2 & 2 & | & 8 \end{bmatrix} \end{equation*}

Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode operasi Gauss-Jordan.

    \begin{equation*} \begin{split} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & | & 2\\ 2 & 1 & 3 & -1 & | & 0\\ 4 & 1 & 2 & -3 & | & 1\\ 3 & -4 & -2 & 2 & | & 8 \end{bmatrix}\xrightarrow[B_{4}+(-3)B_{1}]{B_{2}+(-2)B_{1}, B_{3}+(-4)B_{1}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 9 & -1 & -7 & \mid & -4\\ 0 & 17 & -6 & -15 & \mid & -7\\ 0 & 8 & -8 & -7 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{B_{2}+(-1)B_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 17 & -6 & -15 & \mid & -7\\ 0 & 8 & -8 & -7 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow[B_{4}+(-8)B_{2}]{B_{3}+(-17)B_{2}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & -125 & -15 & \mid & 95\\ 0 & 0 & -64 & -7 & \mid & 50 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{B_{3}+2B_{4}}&\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 3 & -1 & \mid & -5\\ 0 & 0 & -64 & -7 & \mid & 50 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{B_{4}+21B_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 3 & -1 & \mid & -5\\ 0 & 0 & -1 & -28 & \mid & -55 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{B_{3}\leftrightarrow B_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & -1 & -28 & \mid & -55\\ 0 & 0 & 3 & -1 & \mid & -5 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{B_{4}+3B_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & -1 & -28 & \mid & -55\\ 0 & 0 & 0 & -85 & \mid & -170 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow[B_{4}\times \frac{-1}{85}]{B_{3}\times (-1)} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 1 & 28 & \mid & 55\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{B_{3}+(-28)B_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \end{split} \end{equation*}

    \begin{equation*} \begin{split} \hspace{2cm}\xrightarrow{B_{2}+(-7)B_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \hspace{2cm}\xrightarrow{B_{1}+4B_{2}+(-2)B_{3}+(-3)B_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \end{split} \end{equation*}

Jadi penyelesaian SPL di atas adalah a=2, b=1, c=-1, d=2

Tagged

Leave a Reply

Your email address will not be published.