Pada artikel mengenai himpunan pembangun, telah diberikan informasi tentang kombinasi linear dari subruang yang dibangun oleh suatu himpunan. Salah satu fakta yang menarik mengenai himpunan pembangun adalah dua himpunan yang berbeda dari suatu ruang vektor dapat membangun ruang vektor yang sama. Contoh sederhana berikut memperlihatkan fenomena tersebut, yaitu
Pertanyaan:
Jika diberikan sebuah ruang vektor , apakah terdapat jumlah terkecil dari vektor yang membangun ?
Untuk menjawab pertanyaan di atas, terlebih dahulu diberikan definisi mengenai bebas linear dan bergantung linear.
Definisi:
Misal adalah ruang vektor atas lapangan . Himpunan hingga dari vektor dari dikatakan bergantung linear (terhadap ) jika vektor nol adalah kombinasi linear non trivial dari , sebaliknya himpunan disebut bebas linear.
Berdasarkan definisi di atas, himpunan adalah sebuah himpunan bergantung linear jika terdapat skalar yang tidak semua nol sehingga
.
Untuuk kasus sebaliknya, himpunan adalah sebuah himpunan bergantung linear jika vektor nol hanya dapat dituliskan sebagai kombinasi linear trivial dari vektor-vektor tersebut, yakni jika
mengakibatkan .
Untuk memperjelas pemahaman mengenai himpunan bebas linear, diperhatikan contoh-contoh berikut ini.
Contoh Himpunan Bergantung Linear:
Himpunan merupakan himpunan bergantung linear (tidak bebas linear) karena terdapat skalar dan berlaku
Contoh Himpunan Bebas Linear:
Himpunan merupakan himpunan bebas linear sebab untuk sebarang skalar yang memenuhi
berakibat
Sehingga diperoleh sistem persamaan linear
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh nilai . Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai ke persamaan (3) diperoleh nilai . Dengan mensubstitusikan nilai ke persamaan (1) diperoleh nilai . Dengan demikian diperoleh .
Izin bertanya, pada contoh mengapa nilai c1=c2=c3=c4 tidak =0? Padahal nilai tersebut memenuhi matriks [0,0,0] dan sangat mudah ditentukan. Terimakasih