Basis untuk Ruang Vektor – Menara Ilmu Aljabar Linear

Tahukah kamu yang disebut basis untuk suatu ruang vektor?

Misalkan V adalah ruang vektor atas lapangan F. Himpunan B disebut basis untuk V jika B membangun V (lihat di sini untuk definisi himpunan pembangun) dan B bebas linear (lihat di sini untuk definisi himpunan bebas linear).

Sebagai contoh himpunan $\mathcal{B}=\left\{\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}\right\}$ merupakan basis untuk $\mathbb{R}^{3}$ . Lebih lanjut, himpunan $\mathcal{B}$ disebut basis standar untuk $\mathbb{R}^{3}$ .

Salah satu basis yang lain untuk $\mathbb{R}^{3}$ adalah $\mathcal{C}=\left\{\begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}\right\}$ . Hal ini dikarenakan $\mathcal{C}$ membangun $\mathbb{R}^{3}$ dan $\mathcal{C}$ merupakan himpunan bebas linear. Berikut ini merupakan ilustrasi pembuktian bahwa himpunan $\mathcal{C}$ merupakan basis untuk $\mathbb{R}^{3}$ .

Himpunan $\mathcal{C}$ membangun $\mathbb{R}^{3}$ .
Untuk sebarang $begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{3}$ , berlaku

$\begin{equation*} \begin{split} \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix}=&\begin{bmatrix} b-c\\b-c\\0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\b-a\\b-a \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} c+a-b\\c+a-b\\c+a-b \end{bmatrix}\\ =&(b-c)\begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix}+(b-a)\begin{bmatrix} 0\\1\\1 \end{bmatrix}+(c+a-b)\begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix} \end{split} \end{equation*}$

Terbukti bahwa himpunan $\mathcal{C}$ membangun $\mathbb{R}^{3}$ .
Himpunan $\mathcal{C}$ merupakan himpunan bebas linear.
Untuk sebarang bilangan-bilangan real $x,y,z$ yang memenuhi

$\begin{equation*} x\begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} 0\\1\\1 \end{bmatrix}+z\begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix} \end{equation*}$

diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} x+z&=0\\ x+y+z&=0\\ y+z&=0 \end{split} \end{equation*}$

Dengan menyelesaikan SPL Homogen di atas diperoleh $x=y=z=0$ . Jadi terbukti bahwa himpunan $\mathcal{C}$ merupakan himpunan bebas linear.

Selanjutnya, berikut ini diberikan syarat perlu dan cukup suatu subhimpunan dari ruang vektor merupakan basis untuk ruang vektor tersebut.

Misalkan $V$ merupakan ruang vektor atas lapangan $F$ dan himpunan $B=\{b_{1},b_{2},b_{3},\cdots, b_{n}\}$ . Himpunan $B$ merupakan basis untuk $V$ jika dan hanya jika untuk setiap vektor $v\in V$ dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor $b_{1},b_{2},b_{3},\cdots, b_{n}$ , yakni jika

$v=r_{1}b_{1}+r_{2}b_{2}+r_{3}b_{3}+\cdots+r_{n}b_{n}=t_{1}b_{1}+t_{2}b_{2}+t_{3}b_{3}+\cdots+t_{n}b_{n}$

berakibat $r_{i}=t_{i}$ untuk setiap $i=1,2,3,\cdots, n$ .

Tagged Basis

Leave a Reply Cancel reply