Himpunan Pembangun – Menara Ilmu Aljabar Linear

Pada artikel ini, akan dibahas mengenai subruang yang dibangun oleh suatu himpunan bagian dari suatu ruang vektor, yakni subruang terkecil yang memuat suatu himpunan bagian tersebut.

Misalkan diberikan ruang vektor $V$ atas lapangan $F$ dan $S$ himpunan bagian tak kosong dari $V$ . Berdasarkan sifat bahwa irisan dari dua (atau lebih) subruang merupakan subruang, maka dapat dibuktikan bahwa

$\langle S \rangle =\displaystyle \bigcap_{S\subseteq W} W$

dengan $W$ subruang di $V$ yang memuat $S$ , merupakan subruang terkecil yang memuat $S$ .

Pertanyaan: bagaimanakah bentuk elemen-elemen dari $\langle S \rangle$ ?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, terlebih dahulu diperhatikan definisi mengenai kombinasi linear berikut.

Definisi :
Misalkan $V$ adalah ruang vektor atas lapangan $F$ dan $v_{1}, v_{2}, \cdots v_{n} \in V$ . Sebarang jumlahan berhingga

$c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{n}v_{n}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}$

dengan setiap $c_{i}\in F$ , disebut kombinasi linear dari vektor-vektor $v_{1}, v_{2}, \cdots v_{n}$ . Selanjutnya himpunan $U= \langle v_{1}, v_{2}, \cdots v_{n} \rangle$ disebut subruang yang dibangun/direntang oleh $v_{1}, v_{2}, \cdots v_{n}$ dan vektor-vektor $v_{1}, v_{2}, \cdots v_{n}$ ;disebut merentang/ membangun U. Sebuah kombinasi linear dikatakan trivial jika semua koefisiennya $c_{i} = 0, i = 1,2,\cdots, n$ dan nontrivial jika minimal terdapat $c_{i}$ yang bukan nol.

Dengan menggunakan definisi di atas, maka pertanyaan mengenai bentuk elemen-elemen dari $\langle S\rangle$ terjawab pada teorema berikut.

Teorema :
Misalkan $S$ adalah himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor $V$ atas lapangan $F$ , maka $\langle S\rangle$ , subruang yang dibangun oleh $S$ , adalah terdiri dari semua kombinasi linear (berhingga) dari unsur-unsur di $S$ :

$\langle S\rangle =\left\{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}\mid c_{i}\in F, x_{i}\in S, n\in \mathbb{N}\right\}$

Bukti:
Misalkan ruas kanan dari persamaan di atas dinotasikan dengan $Span (S)$ . Dapat dibuktikan bahwa $Span (S)$ merupakan subruang dari $V$ . Karena setiap $s\in S$ berlaku $s=1s\in Span (S)$ , maka berdasarlkan definisi $\langle S \rangle$ , diperoleh $Span (S) \subseteq \langle S\rangle$ . Di lain pihak, $\langle S\rangle$ adalah subruang yang memuat $S$ , dengan demikian $\langle S\rangle$ pasti memuat semua kombinasi linear elemen-elemen dari $S$ , dengan semikian jelas bahwa $Span (S)\subseteq \langle S\rlangle$ . Jadi terbukti bahwa

$\langle S\rangle =\left\{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} c_{i}x_{i}\mid c_{i}\in F, x_{i}\in S, n\in \mathbb{N}\right\}$

Contoh Soal:
Diberikan ruang vektor $\mathbb{R}^{3}$ atas lapangan $\mathbb{R}$ dan himpunan $S=\left\{\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}\right\}$ . Buktikan bahwa

$Span (S)=\mathbb{R}^{3}.$

Penyelesaian:
Jelas bahwa $Span (S) \subseteq \mathbb{R}^{3}$ . Sebaliknya, untuk sebarang $\begin{bmatrix} a \\b\\c\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{3}$ , berlaku

$\begin{equation*} \begin{split} \begin{bmatrix} a \\b\\c\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} c \\c\\c\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} b-c \\b-c\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a-b \\0\\0\end{bmatrix}\\ &=c\begin{bmatrix} 1 \\1\\1\end{bmatrix}+(b-c)\begin{bmatrix} 1 \\1\\0\end{bmatrix}+(a-b)\begin{bmatrix} 1 \\0\\0\end{bmatrix}\in Span (S). \end{split} \end{equation*}$

Sehingg diperoleh $\mathbb{R}^{3} \subseteq Span (S)$ . Dengan demikian, terbukti bahwa $Span (S)=\mathbb{R}^{3}$ .

\\\\\\\\

Leave a Reply Cancel reply