Sebelum mempelajari ruang vektor, perlu diingat kembali mengenai definisi operasi biner (lihat di sini ) dan definisi grup (lihat di sini).
Misalkan $F$ adalah suatu lapangan. Suatu ruang vektor atas lapangan $F$ adalah himpunan tak kosong $V$ yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan, ditulis dengan $“+”$, yang memasangkan setiap pasang $(u,v)\in V\times V$ secara tunggal dengan obyek $u+v$ di dalam $V$ dan operasai perkalian skalar, ditulis dengan $ “ \cdot”$, yang memasangkan setiap pasang $(r,v)\in F\times V$ secara tunggal dengan obyek $r\cdot v$ di dalam $V$ sedemikian hingga 2 operasi tersebut memenuhi aksioma-aksioma berikut:
- $(V,+)$ merupakan grup komutatif,
- Untuk setiap $r,t\in F$, dan setiap $u,v\in V$, berlaku:
a. $(r+t)\cdot v= r\cdot v+t\cdot $
b. $r\cdot (u+v)=r\cdot u + r\cdot v$
c. $(rt)\cdot v=r(t\cdot v)$,
d. $1_{F}\cdot v=v$.
Selanjutnya, untuk setiap $r\in F$ dan $v\in V$, $r\cdot v$ dituliskan dengan $rv$.
Berikut ini beberapa contoh-contoh ruang vektor.
- Himpunan $\mathbb{R}^{n}=\{(v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n})\mid v_{1}, v_{2},\cdots, v_{n}\in \mathbb{R}\}$ merupakan ruang vektor atas lapangan $\mathbb{R}$ terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar $n$-tuple.
- Himpunan semua bilangan kompleks $\mathbb{C}=\{x+iy \mid x,y\in \mathbb{R}; i^{2}=-1\}$ merupakan ruang vektor atas lapangan $\mathbb{R}$.
- Himpunan semua matriks berukuran $m\times n$ atas bilangan $\mathbb{R}$
$$M_{m\times n}(\mathbb{R})=\{A\mid A ~\text{matriks berukuran}~ m\times n ~\text{atas lapangan}~\mathbb{R}\}$$
merupakan ruang vektor atas lapangan $\mathbb{R}$ terhadap operasi penjumlahan matriks dan perkalian skalar dengan matriks.