Pada artikel ini, akan dijelaskan bagaimana cara menentukan invers dari suatu matriks (jika ada) dengan menggunakan operasi baris elementer. Yang dimaksud dengan operasi baris elementer pada suatu matriks yaitu :

  1. Menukar letak dua baris dari suatu matriks,
  2. Mengalikan suatu baris dengan skalar tak nol.
  3. Menjumlahkan suatu baris dengan kelipatan baris yang lain.

Sebagai contoh, jika pada matriks

    \[A=\begin{bmatrix} 5 & 0 & 2\\ 0 & 3 & -4\\ -2 & 3 & 7 \end{bmatrix}\]

dilakukan operasi baris elementer yaitu baris pertama ditukar letaknya dengan baris ketiga, maka diperoleh matriks A_{1} di bawah ini:

    \[A=\begin{bmatrix} 5 & 0 & 2\\ 0 & 3 & -4\\ -2 & 3 & 7 \end{bmatrix}\xrightarrow{b_{1}\leftrightarrow b_{3}} A_{1}=\begin{bmatrix} -2 & 3 & 7\\ 0 & 3 & -4\\ 5 & 0 & 2 \end{bmatrix}.\]

 

Ternyata, matriks A_{1} juga dapat diperoleh dengan cara:

    \[A_{1}=E_{1}A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 &1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 0 & 2\\ 0 & 3 & -4\\ -2 & 3 & 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 3 & 7\\ 0 & 3 & -4\\ 5 & 0 & 2 \end{bmatrix}.\]

Fenomena ini juga berlaku jika kita melakukan dua operasi baris elementer yang lainnya.

 

Dengan menggunakan fakta-fakta ini, jika diberikan matriks bujursangkar A berukuran n\times n, maka dengan menerapkan operasi baris elementer
sebanyak berhingga akan dicapai bentuk eselon baris tereduksi. Hal tersebut digambarkan sebagai berikut:

    \[A\rightarrow E_{1}A\rightarrow E_{2}E_{1}A\rightarrow\cdots\rightarrow E_{k}E_{k-1}\cdots E_{2}E_{1}A\]

Jika bentuk eselon tereduksi matriks A, yaitu perkalian matriks yang paling kanan, berupa
matriks identitas, maka artinya:

    \[E_{k}E_{k-1}\cdots E_{2}E_{1}A=I_{n}\]

Namakan U=E_{k}E_{k-1}\cdots E_{2}E_{1}A sehingga UA=I_{n}, yang berarti U adalah invers matriks A.

Secara teknis, langkah pertama untuk mencari invers matriks A adalah dibentuk matriks berikut

    \[\begin{bmatrix} A & \mid & I_{n}\end{bmatrix}\]

dengan I_{n} adalah matriks identitas berukuran n\times n. Selanjutnya jika dengan beberapa langkah operasi baris elementer diperoleh

    \[\begin{bmatrix} I_{n} & \mid & A^{-1}\end{bmatrix},\]

sehingga invers matriks A dapat ditemukan.

 

Sebagai catatan, jika bentuk eselon baris tereduksi yang dihasilkan dari matriks A bukan merupakan matriks identitas, maka matriks A tidak mempunyai invers.

Supaya lebih memahami bagaimana cara mencari invers matriks dengan menggunakan operasi baris elementer, diperhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

Diberikan matriks A sebagai berikut

    \[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix}\]

Tentukan invers matriks A jika ada.

Penyelesaian:

Akan dicari invers matriks A dengan menggunakan operasi baris elementer.

    \begin{equation*} \begin{split} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & \mid & 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1 & \mid & 0 & 1 & 0\\ 3 & 5 & 3 & \mid & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}&\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & \mid & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & -1 & \mid & -1 & 1 & 0\\ 0 & 5 & -3 & \mid & -3 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & \mid & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & -1 & \mid & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & \mid & -1 & -2 & 1 \end{bmatrix}&\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & \mid & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & \mid & -1 & -2 & 1\\ 0 & 2 & -1 & \mid & -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\\ \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & \mid & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & \mid & -1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 1 & 5 & -2 \end{bmatrix}&\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \mid & -1 & -10 & 4\\ 0 & 1 & 0 & \mid & 0 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 1 & 5 & -2 \end{bmatrix} \end{split} \end{equation*}

Diperoleh A^{-1}=\begin{bmatrix} -1 & -10 & 4\\ 0 & 3 & 1\\ 1 & 5 & -2 \end{bmatrix}.

Leave a Reply

Your email address will not be published.