Pada artikel ini, akan dijelaskan bagaimana cara menentukan invers dari suatu matriks (jika ada) dengan menggunakan operasi baris elementer. Yang dimaksud dengan operasi baris elementer pada suatu matriks yaitu :
- Menukar letak dua baris dari suatu matriks,
- Mengalikan suatu baris dengan skalar tak nol.
- Menjumlahkan suatu baris dengan kelipatan baris yang lain.
Sebagai contoh, jika pada matriks
$$A=\begin{bmatrix}
5 & 0 & 2\\
0 & 3 & -4\\
-2 & 3 & 7
\end{bmatrix}$$
dilakukan operasi baris elementer yaitu baris pertama ditukar letaknya dengan baris ketiga, maka diperoleh matriks $A_{1}$ di bawah ini:
$$A=\begin{bmatrix}
5 & 0 & 2\\
0 & 3 & -4\\
-2 & 3 & 7
\end{bmatrix}\xrightarrow{b_{1}\leftrightarrow b_{3}} A_{1}=\begin{bmatrix}
-2 & 3 & 7\\
0 & 3 & -4\\
5 & 0 & 2
\end{bmatrix}.$$
Ternyata, matriks $A_{1}$ juga dapat diperoleh dengan cara:
$$A_{1}=E_{1}A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 &1 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
5 & 0 & 2\\
0 & 3 & -4\\
-2 & 3 & 7
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & 3 & 7\\
0 & 3 & -4\\
5 & 0 & 2
\end{bmatrix}.$$
Fenomena ini juga berlaku jika kita melakukan dua operasi baris elementer yang lainnya.
Dengan menggunakan fakta-fakta ini, jika diberikan matriks bujursangkar $A$ berukuran $n\times n$, maka dengan menerapkan operasi baris elementer
sebanyak berhingga akan dicapai bentuk eselon baris tereduksi. Hal tersebut digambarkan sebagai berikut:
$$A\rightarrow E_{1}A\rightarrow E_{2}E_{1}A\rightarrow\cdots\rightarrow E_{k}E_{k-1}\cdots E_{2}E_{1}A$$
Jika bentuk eselon tereduksi matriks A, yaitu perkalian matriks yang paling kanan, berupa
matriks identitas, maka artinya:
$$E_{k}E_{k-1}\cdots E_{2}E_{1}A=I_{n}$$
Namakan $U=E_{k}E_{k-1}\cdots E_{2}E_{1}A$ sehingga $UA=I_{n}$, yang berarti $U$ adalah invers matriks $A$.
Secara teknis, langkah pertama untuk mencari invers matriks A adalah dibentuk matriks berikut
$$\begin{bmatrix} A & \mid & I_{n}\end{bmatrix}$$
dengan $I_{n}$ adalah matriks identitas berukuran $n\times n$. Selanjutnya jika dengan beberapa langkah operasi baris elementer diperoleh
$$\begin{bmatrix} I_{n} & \mid & A^{-1}\end{bmatrix},$$
sehingga invers matriks $A$ dapat ditemukan.
Sebagai catatan, jika bentuk eselon baris tereduksi yang dihasilkan dari matriks $A$ bukan merupakan matriks identitas, maka matriks $A$ tidak mempunyai invers.
Supaya lebih memahami bagaimana cara mencari invers matriks dengan menggunakan operasi baris elementer, diperhatikan contoh berikut ini.
Contoh:
Diberikan matriks $A$ sebagai berikut
$$A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
1 & 2 & 1\\
3 & 5 & 3
\end{bmatrix}$$
Tentukan invers matriks $A$ jika ada.
Penyelesaian:
Akan dicari invers matriks $A$ dengan menggunakan operasi baris elementer.
\begin{equation*}
\begin{split}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & \mid & 1 & 0 & 0\\
1 & 2 & 1 & \mid & 0 & 1 & 0\\
3 & 5 & 3 & \mid & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}&\rightarrow \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & \mid & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & -1 & \mid & -1 & 1 & 0\\
0 & 5 & -3 & \mid & -3 & 0 & 1
\end{bmatrix}\\
\rightarrow \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & \mid & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & -1 & \mid & -1 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1 & \mid & -1 & -2 & 1
\end{bmatrix}&\rightarrow \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & \mid & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & \mid & -1 & -2 & 1\\
0 & 2 & -1 & \mid & -1 & 1 & 0
\end{bmatrix}\\
\rightarrow \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & \mid & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & \mid & -1 & -2 & -1\\
0 & 0 & 1 & \mid & 1 & 5 & -2
\end{bmatrix}&\rightarrow \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \mid & -1 & -10 & 4\\
0 & 1 & 0 & \mid & 0 & 3 & -1\\
0 & 0 & 1 & \mid & 1 & 5 & -2
\end{bmatrix}
\end{split}
\end{equation*}
Diperoleh $A^{-1}=\begin{bmatrix}
-1 & -10 & 4\\
0 & 3 & 1\\
1 & 5 & -2
\end{bmatrix}$.