Dalam artikel ini kita akan membahas tentang transpose dari suatu matriks. Jika matriks
$$A=\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}$$
berukuran $m\times n$, maka dapat dibentuk matriks baru, sebut saja matriks $B$, yang diperoleh dengan cara merubah baris ke-$i$ matriks $A$ menjadi kolom ke-$i$ matriks $B$ dan merubah kolom ke-$j$ matriks $A$ menjadi baris ke-$j$ matriks $B$. Lebih lanjut, matriks $B$ dinamakan transpose matriks $A$, yang dinotasika n dengan $A^{t}$. Dengan demikian, jika
$$A=
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix},$$
maka
$$A^{t}=\begin{bmatrix}
a_{ji}
\end{bmatrix}.$$
dan $A^{t}$ berukuran $n\times m$.
Untuk memperjelas pemahaman mengenai transpose matriks, diperhatikan contoh berikut ini.
Contoh:
Diberikan matriks-matriks $A$ dan $B$ sebagai berikut:
$$A=\begin{bmatrix}
1 & 3 & -2\\
0 & -2 & 2
\end{bmatrix}, \text{dan}~B=\begin{bmatrix}
2 & -1 & 3 & 2\\
1 & -1 & -3 & 3\\
0 & 1 & 2 & -3
\end{bmatrix}.$$
Transpose matriks $A$ dan $B$ adalah
$$A^{t}=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
3 & -2\\
-2 & 2
\end{bmatrix}~\text{dan}~B^{t}=\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0\\
-1 & -1 & 1\\
3 & -3 & 2\\
2 & 3 & -3
\end{bmatrix}.$$
Selanjutnya diberikan sifat-sifat yang diperoleh dari suatu transpose matriks terhadap operasi-operasi
yang lain, yaitu jumlahan dan perkalian dengan skalar.
Sifat:
Jika $A$ dan $B$ adalah matriks-matriks dengan ukuran yang sama, dan $\alpha$ adalah bilangan real (kompleks), maka berlaku
- $(A^{t})^{t}=A$
- $(A+B)^{t}=A^{t}+(B)^{t}$
- $(\alpha A)^{t}=\alpha A^{t}$.