Perkalian Matriks – Menara Ilmu Aljabar Linear

Sebelum membahas mengenai perkalian matriks, berikut ini diberikan definisi untuk beberapa matriks dengan ukuran khusus, yaitu vektor kolom dan vektor baris.

Definisi :

Matriks dengan ukuran $m\times 1$ ,

$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\x_3\\ \vdots\\ x_m \end{bmatrix}$

disebut dengan vektor kolom, sedangkan matriks dengan ukuran $1\times n$ ,

$\begin{bmatrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} & \cdots & y_{n}\\ \end{bmatrix}$

disebut vektor baris.

Definisi-definisi tersebut akan digunakan untuk membahas operasi perkalian dua buah matriks dalam artikel ini.

Definisi :

Diberikan matriks $A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}$ dengan ukuran $m \times n$ dan matriks $B=\begin{bmatrix} b_{ij} \end{bmatrix}$ dengan ukuran
$n \times p$ . Hasil kali matriks $A$ dan $B$ adalah

$AB=\begin{bmatrix} c_{ij} \end{bmatrix}$

dengan $c_{ij}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$ .

Perhatikan bahwa $c_{ij}$ merupakan hasil kali entri-entri baris ke-i matriks $A$ dan kolom ke-
j matriks $B$ . Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama
dengan banyaknya baris matriks kedua.

Untuk lebih memahami mengenai perkalian dua matriks, diperhatikan contoh berikut ini.

Contoh :

Diberikan matriks $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & -2 \end{bmatrix}$ dan matriks $B=\begin{bmatrix} 3 & 2\\ -2 & -1\\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ . Akan dihitung hasil kali baris-baris di A dan kolom-kolom di B. Sebagai contoh, akan dihitung hasil kali vektor baris ke-1 dari matriks A dan vektor kolom ke-1 dari matriks B, yang nantinya akan menjadi entri baris ke-1 dan kolom ke-1 dari matriks AB.

$c_{11}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 0\end{bmatrix}=1\times 3 +2 \times (-2)+3 \times 0 = 3-4+0=-1$

Langkah-langkah tersebut dilakukan terus terhadap semua vektor-vektor baris matriks A
dan vektor-vektor kolom matriks B, sehingga diperoleh hasil:

$AB=\begin{bmatrix} -1 & 9 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}.$

Terkait dengan perkalian matriks, terdapat matriks khusus yang disebut matriks identitas, sebagai berikut:

$I_{2}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, I_{3}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \\ 0 & 1&0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, I_{4}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$

Selanjutnya diberikan sifat-sifat yang diperoleh dari perkalian matriks terhadap operasi-operasi yang lain, yaitu jumlahan dan perkalian dengan skalar.

Sifat-sifat perkalian matriks:

Diberikan matriks $A, B$ dan $C$ dengan ukuran sedemikian sehingga berlaku
operasi-operasi penjumlahan dan perkalian, $\alpha$ adalah skalar. Pernyataan-pernyataan berikut
berlaku:

$IA=A$ dan $BI=B$ ;
$(AB)C=A(BC)$ ;
$A(B+C)=AB+BC$ ;
$(B+C)A=BA+CA$ ;
$\alpha (AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$ ;
$(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$ ;
Jika $AB=I$ dan $CA=I$ , maka $B=C$ .