Transpose Matriks

Dalam artikel ini kita akan membahas tentang transpose dari suatu matriks. Jika matriks

    \[A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}\]

berukuran m\times n, maka dapat dibentuk matriks baru, sebut saja matriks B, yang diperoleh dengan cara merubah baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i matriks B dan merubah kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j matriks B. Lebih lanjut, matriks B dinamakan transpose matriks A, yang dinotasika n dengan A^{t}. Dengan demikian, jika

    \[A= \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix},\]

maka

    \[A^{t}=\begin{bmatrix} a_{ji} \end{bmatrix}.\]

dan A^{t} berukuran n\times m.

Untuk memperjelas pemahaman mengenai transpose matriks, diperhatikan contoh berikut ini.

Contoh:

Diberikan matriks-matriks A dan B sebagai berikut:

    \[A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2\\ 0 & -2 & 2 \end{bmatrix}, \text{dan}~B=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 & 2\\ 1 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 1 & 2 & -3 \end{bmatrix}.\]

Transpose matriks A dan B adalah

    \[A^{t}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 3 & -2\\ -2 & 2 \end{bmatrix}~\text{dan}~B^{t}=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 3 & -3 & 2\\ 2 & 3 & -3 \end{bmatrix}.\]

Selanjutnya diberikan sifat-sifat yang diperoleh dari suatu transpose matriks terhadap operasi-operasi
yang lain, yaitu jumlahan dan perkalian dengan skalar.

Sifat:

Jika A dan B adalah matriks-matriks dengan ukuran yang sama, dan \alpha adalah bilangan real (kompleks), maka berlaku

  1. (A^{t})^{t}=A
  2. (A+B)^{t}=A^{t}+(B)^{t}
  3. (\alpha A)^{t}=\alpha A^{t}.
Tagged ,