Dalam artikel ini, akan diberikan contoh penggunaan metode eleminasi dan substitusi dalam mencari penyelesaian dari suatu sistem persamaan (lihat di sini untuk melihat definisi sistem persamaan linear).
Contoh soal :
Tentukan nilai $a,b,c,d$ yang memenuhi sistem persamaan berikut
\begin{equation*}
\begin{split}
a + 2b + c + 2d &= 2\\
a – b + c + d &= 0\\
3a + 2b – c + d &= 1\\
a + b + c – d &= 9.
\end{split}
\end{equation*}
Penyelesaian :
Langkah ke-1 : (persamaan ke-1 digunakan sebagai pivot).
- Persamaan ke-2 dikurangkan dengan $2$ kali persamaan ke-1,
- Persamaan ke-3 dikurangkan dengan $3$ kali persamaan ke-1,
- Persamaan ke-4 dikurangkan dengan persamaan ke-1,
diperoleh sistem persamaan baru
$$a+2b+c+2d=2$$
$$~~~~~~~~~-5b-c-3d=-4$$
$$~~~~~~~~~-4b-4c-5d=-5$$
$$~~~~~~~~~-b~~~~~~-3d=7.$$
Langkah ke-2 :
- Persamaan ke-2 dikalikan dengan $(-1)$,
- Persamaan ke-3 dikalikan dengan $(-1)$,
- Persamaan ke-4 dikalikan dengan $(-1)$,
diperoleh sistem persamaan baru
$$a+2b+c+2d=2$$
$$~~~~~~~~~5b+c+3d=4$$
$$~~~~~~~~4b+4c+5d=5$$
$$~~~~~~~b~~~~~~~+3d=-7.$$
Langkah ke-3:
- Persamaan ke-4 ditukar tempat dengan persamaan ke-2,
diperoleh sistem persamaan baru
$$a+2b+c+2d=2$$
$$~~~~~~~b~~~~~~~+3d=-7$$
$$~~~~~~~~4b+4c+5d=5$$
$$~~~~~~~~~5b+c+3d=4.$$
Langkah ke-4 : (persamaan ke-2 digunakan sebagai pivot).
- Persamaan ke-3 dikurangkan dengan $4$ kali persamaan ke-2,
- Persamaan ke-4 dikurangkan dengan $5$ kali persamaan ke-2,
diperoleh sistem persamaan baru
$$a+2b+c+2d=2$$
$$~~~~~~~b~~~~~~~+3d=-7$$
$$~~~~~~~~~4c-7d=33$$
$$~~~~~~~~~~c-12d=39.$$
Langkah ke-5
- Persamaan ke-4 ditukar tempat dengan persamaan ke-3,
diperoleh sistem persamaan baru
$$a+2b+c+2d=2$$
$$~~~~~~~b~~~~~~~+3d=-7$$
$$~~~~~~~~~~c-12d=39$$
$$~~~~~~~~~4c-7d=33.$$
Langkah ke-6 : (persamaan ke-3 digunakan sebagai pivot).
- Persamaan ke-4 dikurangkan dengan $4$ kali persamaan ke-3,
diperoleh sistem persamaan baru
$$a+2b+c+2d=2$$
$$~~~~~~~b~~~~~~~+3d=-7$$
$$~~~~~~~~~~c-12d=39$$
$$~~~~~~~~~~~~41d=-123.$$
Langkah ke-7
- Persamaan ke-4 dikalikan dengan $\left(\displaystyle \frac{1}{41}\right)$,
diperoleh sistem persamaan baru
$$a+2b+c+2d=2$$
$$~~~~~~~b~~~~~~~+3d=-7$$
$$~~~~~~~~~~c-12d=39$$
$$~~~~~~~~~~~~~~d=-3.$$
Langkah ke-8
- Dengan mensubstitusikan nilai $d=-3$ ke persamaan ke-2 dan ke-3,
diperoleh nilai $b=2$ dan $c=3$.
Langkah ke-9
- Dengan mensubstitusikan nilai $b=2, c=3$ dan $d=-3$ ke persamaan ke-1,
diperoleh nilai $a=1$.
Jadi, nilai $a,b,c,d$ yang memenuhi sistem persamaan
$$a + 2b + c + 2d = 2$$
$$2a – b + c + d = 0$$
$$3a + 2b – c + d = 1$$
$$a + b + c – d = 9$$
adalah $a=1, b=2,c=3$ dan $d=-3$.